The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0, n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0 → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__length(n__cons(X136317_3, X236318_3))) →⁺ U11(and(isNatList(activate(X236318_3)), n__isNat(activate(X136317_3))), activate(X236318_3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0].
The pumping substitution is [X236318_3 / n__length(n__cons(X136317_3, X236318_3))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__length(n__cons(X136317_3, X236318_3))) →⁺ U11(and(isNatList(activate(X236318_3)), n__isNat(activate(X136317_3))), activate(X236318_3))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X236318_3 / n__length(n__cons(X136317_3, X236318_3))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
length, activate, and, isNat, isNatList, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = activate
length = and
length = isNat
length = isNatList
length = isNatIList
activate = and
activate = isNat
activate = isNatList
activate = isNatIList
and = isNat
and = isNatList
and = isNatIList
isNat = isNatList
isNat = isNatIList
isNatList = isNatIList

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
and, length, activate, isNat, isNatList, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = activate
length = and
length = isNat
length = isNatList
length = isNatIList
activate = and
activate = isNat
activate = isNatList
activate = isNatIList
and = isNat
and = isNatList
and = isNatIList
isNat = isNatList
isNat = isNatIList
isNatList = isNatIList

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, length, isNat, isNatList, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = activate
length = and
length = isNat
length = isNatList
length = isNatIList
activate = and
activate = isNat
activate = isNatList
activate = isNatIList
and = isNat
and = isNatList
and = isNatIList
isNat = isNatList
isNat = isNatIList
isNatList = isNatIList

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

Induction Base:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, 0)))

Induction Step:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, +(n8_3, 1)))) →_R^Ω(1)
length(activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3)))) →_IH
length(*3_3)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, and, isNat, isNatList, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = activate
length = and
length = isNat
length = isNatList
length = isNatIList
activate = and
activate = isNat
activate = isNatList
activate = isNatIList
and = isNat
and = isNatList
and = isNatIList
isNat = isNatList
isNat = isNatIList
isNatList = isNatIList

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, and, isNat, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = activate
length = and
length = isNat
length = isNatList
length = isNatIList
activate = and
activate = isNat
activate = isNatList
activate = isNatIList
and = isNat
and = isNatList
and = isNatIList
isNat = isNatList
isNat = isNatIList
isNatList = isNatIList

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, and, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = activate
length = and
length = isNat
length = isNatList
length = isNatIList
activate = and
activate = isNat
activate = isNatList
activate = isNatIList
and = isNat
and = isNatList
and = isNatIList
isNat = isNatList
isNat = isNatIList
isNatList = isNatIList

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, and

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = activate
length = and
length = isNat
length = isNatList
length = isNatIList
activate = and
activate = isNat
activate = isNatList
activate = isNatIList
and = isNat
and = isNatList
and = isNatIList
isNat = isNatList
isNat = isNatIList
isNatList = isNatIList

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
and

They will be analysed ascendingly in the following order:
length = activate
length = and
length = isNat
length = isNatList
length = isNatIList
activate = and
activate = isNat
activate = isNatList
activate = isNatIList
and = isNat
and = isNatList
and = isNatIList
isNat = isNatList
isNat = isNatIList
isNatList = isNatIList

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(24) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

(25) BOUNDS(n^1, INF)

(26) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, L) → s(length(activate(L)))
and(tt, X) → activate(X)
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → isNatList(activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → isNat(activate(V1))
isNatIList(V) → isNatList(activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatIList(activate(V2)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → and(isNat(activate(V1)), n__isNatList(activate(V2)))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U11(and(isNatList(activate(L)), n__isNat(N)), activate(L))
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
isNatIList(X) → n__isNatIList(X)
nil → n__nil
isNatList(X) → n__isNatList(X)
isNat(X) → n__isNat(X)
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__isNatIList(X)) → isNatIList(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__isNatList(X)) → isNatList(X)
activate(n__isNat(X)) → isNat(X)
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
0' :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__zeros :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
U11 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
tt :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
activate :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
and :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__0 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__length :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__s :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__cons :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatIList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNatList :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
nil :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
n__isNat :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
hole_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat1_3 :: n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3 :: Nat → n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

Generator Equations:
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(27) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:tt:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__isNatIList:n__nil:n__isNatList:n__isNat2_3(+(1, n8_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n8₃)

(28) BOUNDS(n^1, INF)